Introducción a la matemática financiera

Autor: David Genta

Matemáticas financieras y evaluación de proyectos

05-2006

Descargar Original

Matemática Financiera
 
Interés
 
El interés en un préstamo es el valor tiempo del dinero (el costo de la no disponibilidad en el tiempo de ese dinero)
 
 C= Capital M= Monto I= Interés VP= Valor Presente  VF= Valor Futuro
 
Un capital depositado el día 0 genera a lo largo del tiempo un interés, de la suma de estos valores resulta el monto.
 
VP + I = VF M = C + I Valor Actual = Valor Presente Valor Nominal = Valor Futuro
   
Tasa Efectiva de Interés:
 
(i) Es el interés que genera una unidad monetaria durante una unidad de tiempo
 
Tasa Efectiva de Descuento

VF1 = VP + VP . i

Momento 2        N = 2

I12 = VP + VP . i
 
VF2 = VP + VP . i + VP . i = VP (1 + 2i)

Momento N        N = N
 
VFN = VP ( 1+ N . i )
 
Ejemplo
 
VP = 10.000
 
Interés Mensual = 30%
 
N= 2 (meses)
 
VF = 10.000 ( 1 + 2 x 0,3 )= 16.000  
 
Interés Compuesto
 
Genera interés durante una unidad de tiempo, es el valor de la colocación al comienzo de cada unidad de tiempo el que se esta analizando el que genera interés, es de esta manera que se produce la capitalización de los intereses. Al final de cada período los intereses forman parte del capital.  
 
VF1 = VP + I01 = VP + VP. I = VP ( 1 + i )
 
Momento 2        N = 2
 
I12 = VF1 + VP . i = VP ( 1 + i ) i
 
VF2 = VF1 + I12 = VP ( 1 + i ) + VP ( 1 + i ) i = VP ( 1 + i )2

Momento N        N = N
 
VFN = VP ( 1+ i )N  
 
Ejemplo
 
VP = 10.000
 
Interés Mensual = 30%
 
N= 2 (meses)
 
VF = 10.000 ( 1 + 2 x 0,3 )= 16.000 

Ejemplo
 
VP = 10.000
 
I Semestral = 20 %
 
N = 1 Año = 2 Semestres
 
VF = 10.000 ( 1 + 0,2 ) 2 = 14.400
 
Descuento
 
Descuento Comercial Simple
 
Ejemplo
 
VF = 10.000
 
Plazo = 6 meses N = 6
 
Tasa = 5% mensual d = 0,05  
 
VP = 10.000 ( 1- 6 . 0,05 ) = 7000
 
Descuento Comercial Compuesto
 
La taza efectiva de descuento se aplica sobre el valor final de cada unidad de tiempo que se quiere retroceder.
 
VP = VF ( 1 – d )n d = VF – VP
 
d = VF – VF (1 –d ) n = VF x 1 - ( 1 – d ) n
 
Ejemplo
 
VF = 10.000
 
Plazo = 6 meses N = 6
 
Taza = 5 % efectiva mensual d = 0,05
 
VP = 10.000 ( 1 – 0,05 ) 6 = 7350,92
Descuento Racional Simple
 
La tasa efectiva de descuento se aplica para cada unidad de tiempo cualquiera sea ella sobre el valor en ese momento.  
 
Descuento Racional Compuesto
 
La tasa efectiva se aplica al valor del comienzo de la unidad de tiempo que se quiere retroceder.
 
Equivalencia de Tasas

Se dice que dos tasas son equivalentes cuando a iguales valores presentes luego de igual cantidad de tiempo se transforman en valores futuros iguales donde tienen dos características

1) entre las distintas tasas involucradas en una única formula de calculo
2) entre las tasas correspondientes a distintas formulas de calculo de interés o descuento.
 
Tipos de Tasas

Tasa Interés Simple
 
Es la que al final de un período se aplica únicamente sobre el capital inicial, Capital constante durante el tiempo de la operación financiera, así como los intereses devengados al final de cada período
 
(devengado es lo que ocurre en cada período)  
 
Tasa Interés Compuesto
 
Es la tasa de interés que al final de cada período se aplica tanto al capital anterior como a los intereses devengados al final de ese período. Esto equivale a decir que es la operación donde los intereses generan interés, mediante el sistema de capitalización.  
 
Ejemplo
 
VP = 500.000
 
I trimestral = 8%  i = 0,08
 
Plazo = 1 año n = 4  
 
Is = VFs = 500.000 ( 1 + 4 . 0,08 ) = 660.000
 
Ic = VFc = 500.000 ( 1 + 0,08 )4 = 680.224,50
 
Tasa Efectiva
 
Es la tasa de interés que realmente se aplica en el período de capitalización sobre un capital para calcular los intereses.
 
La tasa de interés efectiva se identifica por que solamente aparece la parte numérica seguida del período de capitalización o liquidación de intereses.
 
Por ejemplo se dice una tasa de interés del 3%, mensual del 9 %, trimestral del 15 %, semestral o del 32 %, anual pero ellas no son equivalentes.

Tasa de Interés Nominal
 
Es la tasa de interés que expresada anualmente capitaliza varias veces al año, por esa razón la tasa nominal no refleja la realidad en cuanto a los intereses devengados anualmente y de aquí su nombre.

A diferencia de la tasa efectiva que sí nos indica el verdadero interés devengado por un capital al final del período respectivo.

Sin embargo en la mayor parte de las operaciones financieras se utiliza la tasa nominal para expresar el tipo de interés que debe pagarse o cobrarse en esa operación. Esto implica que para realizar los cálculos de operaciones financieras lo primero que debe hacerse es convertir esta tasa nominal a tasa efectiva en cada período de capitalización por que como ya se anotó solamente debemos utilizar la tasa efectiva por período.
 
Ejemplos
 
Ej.1: 36% nominal anual capitalizable trimestralmente
 
Es distinto a
 
Ej.2: 36% nominal anual capitalizable cuatrimestralmente
 
Es distinto a
 
Ej.3: 36% nominal trimestral  
 
(i) = Tasa Efectiva
 
(j) = Tasa Nominal
 
(m) = No de Capitalizaciones  
 
i = j / m  

Ejemplo
 
Qué tasa efectiva anual de interés es equivalente a una tasa nominal anual del 48% capitalizable mensualmente.
            
Qué tasa efectiva bimensual de interés es equivalente a una tasa nominal anual del 48% capitalizable mensualmente.

Incidencia de la Inflación en las Tasas
 
Inflación: Es el aumento sostenido de los precios
 
La tasa efectiva de inflación es el crecimiento que sufre el precio de una determinada canasta de bienes y servicios expresado en tanto por 1 durante una unidad de tiempo.  

Tasa de Interés Real
 
Tiene dos partes la tasa de inflación ( h ) esperada y la tasa que recompense el sacrificio de no disponer del dinero un determinado plazo.
 
( i ) Tasa de interés efectiva a la que se realiza el préstamo
( h ) Tasa efectiva de inflación esperada
( r ) Tasa efectiva real
 
Teorema de Fisher

Ejemplo  
 
Cual es la tasa efectiva real de una colocación a un año que se realiza a la tasa efectiva anual del 80 % si se espera que la tasa de inflación anual en ese período sea en el orden del 65%  

Rentas  
 
Es un conjunto de prestaciones con vencimientos diversos cada uno de los cuales se denominan términos o cuota de la renta. También lo podemos definir como una sucesión de pagos o cobros con vencimientos en épocas equidistantes o intervalos regulares, el período como intervalo de tiempo que media entre dos pagos consecutivos.

La duración de una renta es el numero o cantidad de términos o cuotas.
 
· Rentas ciertas _ Se conocen todos los elementos de antemano
 
· Rentas aleatorias o contingentes _ Pueden variar de acuerdo con circunstancias que no se pueden controlar de antemano
 
A cada instante en la linea de tiempo se asigna un No Real denominado ( t )
 
Para los calculos de renta se trabaja con días comerciales y año comercial 30 días al mes y 360 días al año.
 
Valor de una Renta
 
Es una cifra monetaria de magnitud relativa que adquiere su verdadero significado cuando está referido a un determinado instante de tiempo. Por ejemplo decir $100 no tiene sentido si no se especifica el momento que esa cifra puede estar disponible, hoy, mañana, o dentro de un año.
 
Dos cifras expresadas en diferentes momentos son en términos financieros heterogéneas, no comparables a si mismas salvo que se tome una regla funcional que permita definir una relación de equivalencia de tal manera que homogeneice esas cifras.
 
La regla no es otra que la fórmula de interés compuesto
 
VP = ( VF – d ) n
 
El valor de una renta será una serie de prestaciones, una cantidad de unidades monetarias en un instante de tiempo (t) equidistante en términos financieros al conjunto de cuotas que conforman esa renta.

CK  = Es la “K’esima” cuota de la renta ( pagos o cobros )
 
i  = Es la tasa de interés efectiva del período del intervalo de tiempo
 
t = 1  = Es el primer pago o cobro.  
 
El valor de una renta en el instante t se halla sumando los equivalentes financieros de cada cuota en ese instante dad la tasa de interés ( i ) efectiva en el período y en función del interés compuesto  

Ejemplo 
 
XX exige el pago de la primera cuota al mes de entrega del minicomponente, calcular el precio contado a partir de los siguientes valores de las 3 cuotas, el interés efectivo es 5% mensual  
 
Rentas Constantes
 
Rente en el momento t con el interés i es la sumatoria de todas las cuotas de la 1 a n llevadas al momento t
 
Suma de Progresión Geométrica

Ejemplo
 
La venta de un equipo de computación es en 48 cuotas de 95,85 donde la primera cuota es el mes de la entrega del equipo la tasa es del 6% mensual efectiva
 
Amortización de Deuda
 
Si al mes de contraída la deuda b paga a cuenta $700 calcular los intereses y la reducción de la deuda  
 
Prestamo
 
SI = 1000 ( saldo inicial )
 
i = 0,10
 
Paga una segúnda cuota de 340 y una tercera de 110
 
Cuando Ck < Ik se llama amortización negativa, esto hace crecer el principal por lo que se incrementa la deuda

Período
SI
Cuota
Interés
Amortización
SF
1
1000
700
100
600
400
2
400
340
40
300
100
3
100
110
10
100
0
 
1150
150
1000  
 
t = momento de análisis  k = cantidad de cuotas pagas n = cantidad de cuotas S = saldo
 
S(t, n – k) indica el saldo en el momento n – k que es lo que queda por pagar
 
Ejemplo  
 
Una deuda pagadera en 10 cuotas, se llevan pagadas 6 cuotas. Hallar el saldo adeudado al momento que la cuota está recién paga.
 
t = 6 _ momento de análisis
 
k = 6 _ cuotas pagas
 
n = 10 _ cantidad de cuotas  
 
S(6, 10 – 6) = S(6, 4)
 
S (t, n – k ) = R (t – k, n – k, i)
 
S( 6, 4) = R (0, 4, i)

Inversión
 
Es un proceso que consiste en la aplicación de fondos generalmente asociada a la obtención de activos en la finalidad de obtener un beneficio, no necesariamente económico, que compense el sacrificio impuesto por la disponibilidad de los fondos invertidos.

Se tiene la presencia de fondos como requisito esencial, un tiempo y un flujo de pagos o fondos que se localizan en distintos instantes de tiempo. Pueden ser bonos, maquinaria, renovación y reposición, inversión por expansión, etc.

Puede ser de carácter público o privado, jurídico o físico.

Lo que se busca es poder valorar distintas inversiones.
 
VPN = Valor presente neto (neto = ingresos – costos = ingreso neto)
 
VAN = Valor actual neto
 
TIR = Tasa de Rentabilidad o Tasa Interna de Retorno
 
VPNP = Valor presente neto promedio
 
TCC = tasa costo capital = i

VPN Valor Presente Neto
 
Llamaremos VPN de la inversión a la cantidad de dinero equivalente a términos financieros al conjunto de pagos o cobros que representan el conjunto de fondos de la inversión. (equivalentes para la tasa de cobro de capital ) dicho VPN se calcula al momento del desembolso inicial o instante cero.  

Ejemplo
 
Compro una camioneta para repartir golosinas, la camioneta cuesta 50.000 unidades monetarias

TIR Tasa Interna de Retorno
 
Según el criterio del VPN la opción a invertir se decidirá según que valor presente de los ingresos menos los egresos de caja actualizados a la tasa de costos de capital

La forma de calcular a que tasa se reproducen los fondos invertidos para luego analizar si esa tasa es o no suficiente como para considerar conveniente la inversión
 
Ejemplo
 
Para un capital de $ 100.000
 
opción 1 colocación en un Banco al 68 % efectivo anual
opción 2 préstamo a un tercero paga el primer año $ 90.000 y el segundo $ 160.000

79,2572 % > 68 % por lo que la opción 2 es mas conveniente

Se llama tasa de rentabilidad o TIR de una inversión a la tasa por la cual el VPN de una inversión se hace 0, la tasa queda definida como efectiva en el período en que se definen los ingresos netos, y conviene invertir en la medida que la tas que ofrece la inversión (R) supera la TCC (i) definidas ambas en la misma unidad de tiempo.
 
Es la tasa por la cual se iguala el valor presente de los cobros con el valor presente de los pagos.
 
VPN > 0 conviene invertir VPN = 0 indiferente VPN < 0 no conviene invertir
R > i conviene invertir R = i indiferente R < i no conviene invertir
 
Para un solo proyecto

Nota: Es probable que en esta página web no aparezcan todos los elementos del presente documento.  Para tenerlo completo y en su formato original recomendamos descargarlo desde el menú en la parte superior

David Genta

intercomp20arrobayahoo.com