Matemática Financiera
Interés
El interés en un préstamo es el valor tiempo del dinero (el costo de la
no disponibilidad en el tiempo de ese dinero)
C= Capital M= Monto I= Interés VP= Valor Presente VF= Valor
Futuro
Un capital depositado el día 0 genera a lo largo del tiempo un interés,
de la suma de estos valores resulta el monto.
VP + I = VF M = C + I Valor Actual = Valor Presente Valor Nominal =
Valor Futuro
Tasa Efectiva de Interés:
(i) Es el interés que genera una unidad monetaria durante una unidad de
tiempo
Tasa Efectiva de Descuento
VF1 = VP + VP . i
Momento 2 N = 2
I12 = VP + VP . i
VF2 = VP + VP . i + VP . i = VP (1 + 2i)
Momento N N = N
VFN = VP ( 1+ N . i )
Ejemplo
VP = 10.000
Interés Mensual = 30%
N= 2 (meses)
VF = 10.000 ( 1 + 2 x 0,3 )= 16.000
Interés Compuesto
Genera interés durante una unidad de tiempo, es el valor de la
colocación al comienzo de cada unidad de tiempo el que se esta
analizando el que genera interés, es de esta manera que se produce la
capitalización de los intereses. Al final de cada período los intereses
forman parte del capital.
VF1 = VP + I01 = VP + VP. I = VP ( 1 + i )
Momento 2 N = 2
I12 = VF1 + VP . i = VP ( 1 + i ) i
VF2 = VF1 + I12 = VP ( 1 + i ) + VP ( 1 + i ) i = VP ( 1 + i )2
Momento N N = N
VFN = VP ( 1+ i )N
Ejemplo
VP = 10.000
Interés Mensual = 30%
N= 2 (meses)
VF = 10.000 ( 1 + 2 x 0,3 )= 16.000
Ejemplo
VP = 10.000
I Semestral = 20 %
N = 1 Año = 2 Semestres
VF = 10.000 ( 1 + 0,2 ) 2 = 14.400
Descuento
Descuento Comercial Simple
Ejemplo
VF = 10.000
Plazo = 6 meses N = 6
Tasa = 5% mensual d = 0,05
VP = 10.000 ( 1- 6 . 0,05 ) = 7000
Descuento Comercial Compuesto
La taza efectiva de descuento se aplica sobre el valor final de cada
unidad de tiempo que se quiere retroceder.
VP = VF ( 1 – d )n d = VF – VP
d = VF – VF (1 –d ) n = VF x 1 - ( 1 – d ) n
Ejemplo
VF = 10.000
Plazo = 6 meses N = 6
Taza = 5 % efectiva mensual d = 0,05
VP = 10.000 ( 1 – 0,05 ) 6 = 7350,92
Descuento Racional Simple
La tasa efectiva de descuento se aplica para cada unidad de tiempo
cualquiera sea ella sobre el valor en ese momento.
Descuento Racional Compuesto
La tasa efectiva se aplica al valor del comienzo de la unidad de tiempo
que se quiere retroceder.
Equivalencia de Tasas
Se dice que dos tasas son equivalentes cuando a iguales valores
presentes luego de igual cantidad de tiempo se transforman en valores
futuros iguales donde tienen dos características
1) entre las
distintas tasas involucradas en una única formula de calculo
2) entre las
tasas correspondientes a distintas formulas de calculo de interés o descuento.
Tipos de Tasas
Tasa Interés Simple
Es la que al final de un período se aplica únicamente sobre el capital
inicial, Capital constante durante el tiempo de la operación financiera, así
como los intereses devengados al final de cada período
(devengado es lo que ocurre en cada período)
Tasa Interés Compuesto
Es la tasa de interés que al final de cada período se aplica tanto al
capital anterior como a los intereses devengados al final de ese período. Esto
equivale a decir que es la operación donde los intereses generan interés,
mediante el sistema de capitalización.
Ejemplo
VP = 500.000
I trimestral = 8% i = 0,08
Plazo = 1 año n = 4
Is = VFs = 500.000 ( 1 + 4 . 0,08 ) = 660.000
Ic = VFc = 500.000 ( 1 + 0,08 )4 = 680.224,50
Tasa Efectiva
Es la tasa de interés que realmente se aplica en el período de
capitalización sobre un capital para calcular los intereses.
La tasa de interés efectiva se identifica por que solamente aparece la
parte numérica seguida del período de capitalización o liquidación de intereses.
Por ejemplo se dice una tasa de interés del 3%, mensual del 9 %,
trimestral del 15 %, semestral o del 32 %, anual pero ellas no son equivalentes.
Tasa de Interés Nominal
Es la tasa de interés que expresada anualmente capitaliza varias veces
al año, por esa razón la tasa nominal no refleja la realidad en cuanto a los
intereses devengados anualmente y de aquí su nombre.
A diferencia de la tasa efectiva que sí nos indica el verdadero interés devengado por un capital al final del período respectivo.
Sin embargo en la mayor parte de las operaciones financieras se
utiliza la tasa nominal para expresar el tipo de interés que debe
pagarse o cobrarse en esa operación. Esto implica que para realizar los
cálculos de operaciones financieras lo primero que debe hacerse es
convertir esta tasa nominal a tasa efectiva en cada período de
capitalización por que como ya se anotó solamente debemos utilizar la
tasa efectiva por período.
Ejemplos
Ej.1: 36% nominal anual capitalizable trimestralmente
Es distinto a
Ej.2: 36% nominal anual capitalizable cuatrimestralmente
Es distinto a
Ej.3: 36% nominal trimestral
(i) = Tasa Efectiva
(j) = Tasa Nominal
(m) = No de Capitalizaciones
i = j / m
Ejemplo
Qué tasa efectiva anual de interés es equivalente a una tasa nominal
anual del 48% capitalizable mensualmente.
Qué tasa efectiva bimensual de interés es equivalente a una tasa nominal
anual del 48% capitalizable mensualmente.
Incidencia de la Inflación en las Tasas
Inflación: Es el aumento sostenido de los precios
La tasa efectiva de inflación es el crecimiento que sufre el precio de
una determinada canasta de bienes y servicios expresado en tanto por 1
durante una unidad de tiempo.
Tasa de Interés Real
Tiene dos partes la tasa de inflación ( h ) esperada y la tasa que
recompense el sacrificio de no disponer del dinero un determinado plazo.
( i ) Tasa de interés efectiva a la que se realiza el préstamo
( h ) Tasa efectiva de inflación esperada
( r ) Tasa efectiva real
Teorema de Fisher
Ejemplo
Cual es la tasa efectiva real de una colocación a un año que se realiza
a la tasa efectiva anual del 80 % si se espera que la tasa de inflación
anual en ese período sea en el orden del 65%
Rentas
Es un conjunto de prestaciones con vencimientos diversos cada uno de los
cuales se denominan términos o cuota de la renta. También lo podemos
definir como una sucesión de pagos o cobros con vencimientos en épocas
equidistantes o intervalos regulares, el período como intervalo de
tiempo que media entre dos pagos consecutivos.
La duración de una renta es el numero o cantidad de términos o
cuotas.
· Rentas ciertas _ Se conocen todos los elementos de antemano
· Rentas aleatorias o contingentes _ Pueden variar de acuerdo con
circunstancias que no se pueden controlar de antemano
A cada instante en la linea de tiempo se asigna un No Real denominado (
t )
Para los calculos de renta se trabaja con días comerciales y año
comercial 30 días al mes y 360 días al año.
Valor de una Renta
Es una cifra monetaria de magnitud relativa que adquiere su verdadero
significado cuando está referido a un determinado instante de tiempo.
Por ejemplo decir $100 no tiene sentido si no se especifica el momento
que esa cifra puede estar disponible, hoy, mañana, o dentro de un año.
Dos cifras expresadas en diferentes momentos son en términos financieros
heterogéneas, no comparables a si mismas salvo que se tome una regla
funcional que permita definir una relación de equivalencia de tal manera
que homogeneice esas cifras.
La regla no es otra que la fórmula de interés compuesto
VP = ( VF – d ) n
El valor de una renta será una serie de prestaciones, una cantidad de
unidades monetarias en un instante de tiempo (t) equidistante en
términos financieros al conjunto de cuotas que conforman esa renta.
CK = Es la “K’esima” cuota de la renta ( pagos o cobros )
i = Es la tasa de interés efectiva del período del intervalo de
tiempo
t = 1 = Es el primer pago o cobro.
El valor de una renta en el instante t se halla sumando los equivalentes
financieros de cada cuota en ese instante dad la tasa de interés ( i )
efectiva en el período y en función del interés compuesto
Ejemplo
XX exige el pago de la primera cuota al mes de entrega del
minicomponente, calcular el precio contado a partir de los siguientes
valores de las 3 cuotas, el interés efectivo es 5% mensual
Rentas Constantes
Rente en el momento t con el interés i es la sumatoria de todas las
cuotas de la 1 a n llevadas al momento t
Suma de Progresión Geométrica
Ejemplo
La venta de un equipo de computación es en 48 cuotas de 95,85 donde la
primera cuota es el mes de la entrega del equipo la tasa es del 6%
mensual efectiva
Amortización de Deuda
Si al mes de contraída la deuda b paga a cuenta $700 calcular los
intereses y la reducción de la deuda
Prestamo
SI = 1000 ( saldo inicial )
i = 0,10
Paga una segúnda cuota de 340 y una tercera de 110
Cuando Ck < Ik se llama amortización negativa, esto hace crecer el
principal por lo que se incrementa la deuda
Período
SI
Cuota
Interés
Amortización
SF
1
1000
700
100
600
400
2
400
340
40
300
100
3
100
110
10
100
0
1150
150
1000
t = momento de análisis k = cantidad de cuotas pagas n = cantidad
de cuotas S = saldo
S(t, n – k) indica el saldo en el momento n – k que es lo que queda por
pagar
Ejemplo
Una deuda pagadera en 10 cuotas, se llevan pagadas 6 cuotas. Hallar el
saldo adeudado al momento que la cuota está recién paga.
t = 6 _ momento de análisis
k = 6 _ cuotas pagas
n = 10 _ cantidad de cuotas
S(6, 10 – 6) = S(6, 4)
S (t, n – k ) = R (t – k, n – k, i)
S( 6, 4) = R (0, 4, i)
Inversión
Es un proceso que consiste en la aplicación de fondos generalmente
asociada a la obtención de activos en la finalidad de obtener un
beneficio, no necesariamente económico, que compense el sacrificio
impuesto por la disponibilidad de los fondos invertidos.
Se tiene la presencia de fondos como requisito esencial, un tiempo y un flujo de pagos o fondos que se localizan en distintos instantes de tiempo. Pueden ser bonos, maquinaria, renovación y reposición, inversión por expansión, etc.
Puede ser de carácter público o privado, jurídico o físico.
Lo que se busca es poder valorar distintas inversiones.
VPN = Valor presente neto (neto = ingresos – costos = ingreso neto)
VAN = Valor actual neto
TIR = Tasa de Rentabilidad o Tasa Interna de Retorno
VPNP = Valor presente neto promedio
TCC = tasa costo capital = i
VPN Valor Presente Neto
Llamaremos VPN de la inversión a la cantidad de dinero equivalente a
términos financieros al conjunto de pagos o cobros que representan el
conjunto de fondos de la inversión. (equivalentes para la tasa de cobro
de capital ) dicho VPN se calcula al momento del desembolso inicial o
instante cero.
Ejemplo
Compro una camioneta para repartir golosinas, la camioneta cuesta 50.000
unidades monetarias
TIR Tasa Interna de Retorno
Según el criterio del VPN la opción a invertir se decidirá según que
valor presente de los ingresos menos los egresos de caja actualizados a
la tasa de costos de capital
La forma de calcular a que tasa se reproducen los fondos invertidos
para luego analizar si esa tasa es o no suficiente como para considerar
conveniente la inversión
Ejemplo
Para un capital de $ 100.000
opción 1 colocación en un Banco al 68 % efectivo anual
opción 2 préstamo a un tercero paga el primer año $ 90.000 y el segundo
$ 160.000
79,2572 % > 68 % por lo que la opción 2 es mas conveniente
Se llama tasa de rentabilidad o TIR de una inversión a la tasa por la
cual el VPN de una inversión se hace 0, la tasa queda definida como
efectiva en el período en que se definen los ingresos netos, y conviene
invertir en la medida que la tas que ofrece la inversión (R) supera la
TCC (i) definidas ambas en la misma unidad de tiempo.
Es la tasa por la cual se iguala el valor presente de los cobros con el
valor presente de los pagos.
VPN > 0 conviene invertir VPN = 0 indiferente VPN < 0 no conviene
invertir
R > i conviene invertir R = i indiferente R < i no conviene invertir
Para un solo proyecto
Nota: Es probable que en esta página web no aparezcan todos los elementos del presente documento. Para tenerlo completo y en su formato original recomendamos descargarlo desde el menú en la parte superior
Masters en línea - ISEAD
Una frase memorable
Acerca de GestioPolis: Qué es GestioPolis — Términos de uso y Política de privacidad — Mapa del sitio — Contácto — Aliados — Contratar publicidad
Derechos de Autor: Los contenidos están bajo la licencia Reconocimiento - No comercial - Compartir bajo la misma licencia 3.0 Unported de Creative Commons a menos que se indiquen derechos de autor específicos. Si desea citar o utilizar públicamente alguno de los contenidos le solicitamos ponerse en contacto con el respectivo autor.
Derechos Reservados sobre el concepto del sitio web GestioPolis.com © 2008 Carlos López