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OriginalINTRODUCCIÓN A LA ESTADÍSTICA
MODULO I
ANÁLISIS COMBINATORIO
El análisis combinatorio es un sistema que permite agrupar y ordenar en diversas formas los elementos de un conjunto.
El análisis combinatorio es la parte fundamental de las reglas de conteo, ya que proporciona las formulas adecuadas para simplificar la engorrosa labor de contar el numero de resultados posibles que pueden darse en un experimento .
Una aplicación fundamental la obtenemos en los millones de subconjuntos que se pueden formar con todos los dígitos que traen las tarjetas débitos, tarjetas de crédito, etc, procesos donde es básico el uso del análisis combinatorio. Actualmente todas las operaciones que anteriormente se hacían manualmente , hoy se realizan utilizando infinidades de software o paquetes estadísticos que facilitan y posibilitan el desarrollo de estas tediosas y largas operaciones. A través de Internet se pueden conseguir cientos de applets gratuitos on line donde ejecutar estas tareas. Además en casi todas las calculadoras viene automatizado el calculo de las formulas que se utilizan en el análisis combinatorio.
Los principales tipos de análisis combinatorio que estudiaremos son las permutaciones y las combinaciones.
Antes de adentrarnos en el análisis combinatorio definiremos algunos conceptos básicos
1.1 FACTORIAL DE UN NUMERO n
Se define el factorial de un numero n, entero no menor que 2 , como el producto de los n primeros números naturales y se denota con n!. El factorial de 0 y de 1 es igual a 1 por definición.
Del anterior ejemplo podemos generalizar y establecer que :
1.2 PRINCIPIO FUNDAMENTAL
Si un suceso o evento puede ocurrir de n1 maneras y cuando esto haya
ocurrido; otro suceso puede ocurrir de n2 formas ; podemos decir que el
numero de maneras ( N ) en que ambos eventos pueden ocurrir en un orden
especifico es igual a
Este principio también se conoce como el principio de la multiplicación.
Este principio también se conoce como el principio de la multiplicación. Generalizando podemos decir que si una tarea en una secuencia de r etapas, donde hay n1 formas de llevar acabo la primera etapa y n2 formas de ejecutar la segunda etapa y n3 formas de realizar la tercera etapa y así sucesivamente ; entonces podemos decir que el numero total de formas en que se puede realizar la tarea completa esta dado por el producto de las maneras individuales como cada uno puede ocurrir y se calcula así:
EJEMPLO 3
Si hay 4 candidatos para gerente de una compañía y 3 para subgerente. De cuantas formas se pueden ocupar los dos cargos?
DESARROLLO
n1 = formas de ocupar el cargo de gerente = 4
n2 = formas de ocupar el cargos
de subgerente = 3
N = n1.n2 = formas de ocupar los dos cargos = (4)(3) =
12
DESARROLLO
n1 = formas para ocupar el primer lugar = 7
n2 = formas para ocupar el segundo lugar = 6
n3 = formas para ocupar el tercer lugar = 5
N = n1. n2. n3 = 7.6.5 = 210 resultados posibles
EJEMPLO 5
Cuantas placas diferentes para automóviles pueden fabricarse si cada placa debe contener 2 letras de 28 posibles y 4 números de 10 posibles , si a) no se impone ninguna restricción b) ni los números ni las letras pueden repetirse.
DESARROLLO
a) Para resolver este problema imaginemos una placa y bajo la premisa de que no hay ninguna restricción podemos disponer de todas las letras y los dígitos cada vez que queramos llenar una celda.
Para formar la placa se realizan 6 etapas
b) Para resolver esta parte se debe tener presente que cada vez que se selecciona una letra o un numero este queda descartado, es decir que en este proceso no existe reemplazo.
1.3 DIAGRAMA DE ARBOL
Un diagrama de árbol es una representación grafica de un experimento que consta de varios pasos donde cada paso tiene un numero finito de maneras de llevarse a cabo. El diagrama de árbol es la herramienta mediante la cual visualizamos gráficamente el proceso con todos sus posibles resultados. Esta formado por nodos y ramas que salen de esos nodos . Un nodo equivale a un experimento o ensayo y las ramas equivalen a cada uno delos resultados. El diagrama se puede dibujar de izquierda a derecha o de arriba hacia abajo en la misma secuencia en que suceden los experimentos y cada vez que tiene lugar un experimento se dibuja un nodo del cual saldrán tantas ramas como resultados tenga ese experimento. Encima o al lado de cada rama se colocan los resultados particulares.
Un investigador clasifica a sus pacientes de acuerdo a su sexo (Masculino o Femenino) , tipo de sangre (A, B, AB, O) y a su presión sanguínea (Normal, Alta y Baja). Mediante un diagrama de árbol diga cuantas clasificaciones puede hacer el investigador de sus pacientes?
DESARROLLO
Como se puede observar del diagrama de árbol , el investigador puede hacer 24 clasificaciones que son las mismas que se obtienen cuando se aplica el principio fundamental = (2)(4)(3) = 24
EJEMPLO 7
De cuantas forma Rene Fernando puede seleccionar una comida completa en el restaurante internacional Miriam´s, si este le ofrece como entrada sopa o jugo , como plato principal , carne, pescado o vegetales y como postre, helado o pastel?
DESARROLLO
Del diagrama del árbol obtenemos que René Fernando puede hacer 12 selecciones diferentes de comida completa. ( 2x3x2 =12 )
1.4 PERMUTACIONES
Es el numero de ordenaciones cuando el orden es importante y se define como la elección ordenada de r objetos tomados de entre n objetos de r en r . Se denota por nPr , P(n,r) o Pn.r y se calcula utilizando la siguiente expresión matemática :
En particular si el numero de permutaciones son tomada de n en n , entre n objetos su calculo es igual a :
Además si el numero de permutaciones de n objetos de los cuales n1
son iguales, n2
iguales y n3 son iguales, su permutación se calcula así:
EJEMPLO 8
Cuantas permutaciones se pueden hacer con las letras A, B y C?
DESARROLLO
En general el numero de permutaciones de n objetos es igual n!
N! = 3! =3.2.1 = 6
