Temáticas financieras. Empréstitos, bonos, sistema de equilibrio y casos comunes en los negocios...

Autor: Cesar Aching Guzman

Matemáticas financieras y evaluación de proyectos

09-2005

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Capítulo 6

Empréstitos, Bonos, Sistema de Equilibrio y Casos Comunes en los Negocios...

Prólogo

El libro «MATEMATICAS FINANCIERAS PARA TOMA DE DECISIONES EMPRESARIALES», es un compendio sobre temas fundamentales del campo de las finanzas, necesario para entender el mundo de los negocios. Con este propósito utilizo un lenguaje claro, sencillo, práctico, rico en conceptos, con una amplia gama de casos resueltos con el método conceptual-aplicativo y funciones financieras de Excel. Es una edición digital mejorada y corregida de la edición impresa.

Dirigido a estudiantes, profesores y profesionales de administración, contabilidad, economía, banca y finanzas, tecnología financiera y otras actividades de carácter comercial; asimismo, a los pequeños y micro empresarios y a todos aquellos que tengan la inquietud de aprender.

El capítulo 6 expongo el tema de los empréstitos, deuda del Estado, bonos, sistema de equilibrio y casos comunes en los negocios. Cada uno de los temas -del capítulo-, viene ilustrado con casos reales resueltos aplicando el modelo matemático y la función financiera de Excel, cuando es aplicable.

1. Empréstito

Es el préstamo que toma el Estado, corporación, o empresa, con el fin de financiar proyectos de desarrollo. Es una financiación a largo plazo en un volumen de dinero importante, que por su magnitud, no está al alcance de los bancos porque un préstamo de este tipo a un solo cliente supone una concentración de riesgo muy alto para una entidad financiera.

Generalmente está representado por títulos negociables en bolsa, nominativos o al portador colocado en el mercado interno o externo. Es una modalidad de financiación que permite acudir directamente al mercado, en lugar de ir a una entidad financiera.

La entidad divide el préstamo o empréstito de obligaciones en un gran número de pequeñas partes alícuotas denominadas obligaciones, que coloca entre multitud de inversores. Estas partes del empréstito vienen representadas por «títulos-valores». Todos los «títulos-valores» correspondientes a una misma emisión presentan las mismas características: importe, tipo, vencimiento, etc. La entidad que emite los títulos es el «emisor», mientras que el inversor que los suscribe es el «obligacionista». La fórmula general del valor del empréstito es expresada así:

Por último, la sociedad deberá devolver la cantidad recibida y los intereses pactados mediante el sistema de amortización establecido en las condiciones de emisión del empréstito.

1.2. Valor de emisión y valor de reembolso

La explicación de una serie de conceptos referente a los empréstitos lo vamos a efectuar a través de un sencillo ejemplo:

Consideremos una institución (pública o privada) que emite un empréstito, representado por 15,000 obligaciones con un valor nominal de UM 10,000 cada una, emitidas al 85% y reembolsables al 115%. La amortización es cada 5 años, a un ritmo de 3,000 títulos anuales.

Generalmente en éste y en cualquier empréstito distinguimos las siguientes expresiones:

a) Valor nominal (UM 10,000) VN: Importe del título sobre el que son pagados los intereses.
b) Valor de emisión: Importe que el suscriptor / inversor u obligacionista desembolsa por la adquisición del título.

VN x % de emisión = UM 10,000 x 85% = UM 8,500

c) Valor de reembolso: Importe que percibirá el inversionista en el momento que su obligación sea amortizada.

VN x % de reembolso = UM 10,000 x 115% = 11,500

d) Prima de reembolso: Diferencia entre el valor de reembolso de la obligación y el valor nominal de la misma.

11,500 – 10,000 = UM 1,500

e) Prima o quebranto de emisión: Diferencia entre el valor nominal de la obligación y su valor de emisión.

10,000 – 8,500 = UM 1,500

La prima o quebranto de emisión y prima de reembolso incrementan la rentabilidad del empréstito para el inversor / suscriptor de las obligaciones, facilitando así su venta en el mercado.

1.3. Emisión

La emisión de obligaciones y bonos significa incurrir –en la mayoría de casos-, en costos financieros explícitos (intereses sobre el valor nominal, los cupones) y de costos implícitos (prima de reembolso, el quebranto de emisión, etc.).

Usualmente, las primas de emisión y reembolso constituyen la rentabilidad implícita, en relación al suscriptor/inversor de la obligación, que es quien percibirá a la amortización de las obligaciones un importe superior al que ha prestado. Desde el punto de vista del emisor de los títulos, las primas representan un costo de naturaleza financiera (al ser costo de dinero) por el incremento en función al tiempo.

Es decir, que a la fecha de emisión del empréstito la deuda devengada es de UM 8,500/título, que viene a ser la cantidad recibida, deuda que crece al transcurrir el tiempo, por ende, produciéndose intereses implícitos.

1.4. Gastos de emisión

La emisión de un empréstito de obligaciones, conlleva incurrir en gastos como: escritura pública, autorizaciones de la Comisión Nacional del Mercado de Valores, publicidad, convocatoria de los obligacionistas, etc.

1.5. Intereses tc

1.5.1. Intereses explícitos

Como vimos anteriormente, la emisión de un empréstito constituye el pago de intereses (denominados cupones) en tanto la obligación no está amortizada (viva o en circulación). Interés producido por el simple hecho de que transcurre el tiempo.

1.5.2. Intereses implícitos

Están constituidos por las primas de emisión y reembolso y aparecen en el momento de la emisión de la deuda.

Los «títulos-valores» ofrecen al inversor / suscriptor los siguientes derechos:

a) Recibir periódicamente intereses por los fondos prestados
b) Recuperar los fondos prestados al vencimiento del empréstito.

Clasificamos los empréstitos según diversos criterios:

a) Según el emisor: deuda pública (emitida por entidades públicas) y deuda privada(emitida por empresas).
b) Según el vencimiento: deuda amortizable (si tiene vencimiento) y deuda perpetua (no tiene vencimiento. No obstante, el emisor suele reservarse el derecho de amortizarla cuando lo considere oportuno).
c) Según la modalidad de amortización: con vencimientos periódicos parciales (en cada período es amortizado, un número determinado de títulos o una parte de todos los títulos) y con una única amortización al vencimiento.
d) Según el valor de emisión de los títulos: títulos emitidos a la par (emitidos por su valor nominal), títulos bajo la par (emitidos a un precio inferior a su valor nominal) y títulos sobre la par (emitidos a un precio superior a su valor nominal).
e) Según su valor de amortización: reembolsables por el nominal (su precio de amortización coincide con su valor nominal) y reembolsables con prima de amortización (su precio de amortización es superior a su valor nominal).
f) Según el pago de intereses: pago de intereses periódicos (periódicamente el inversor recibe sus intereses) y «cupón cero» (un único pago de intereses en la fecha de vencimiento final del empréstito).
g) En función de la duración del empréstito: Pagarés (vencimiento inferior a 18 meses), Bonos (vencimiento entre 2 y 5 años) y obligaciones (vencimiento normalmente a más de 5 años).

1.6. Deuda del Estado

Deuda Pública, forma de obtener recursos financieros por el Estado, otros poderes públicos o sus organismos autónomos mediante emisiones de títulos valores, generalmente negociables en Bolsa.

Una empresa cualquiera o un gobierno que desee obtener recursos para satisfacer sus necesidades de capital de trabajo y/o efectuar inversiones para su desarrollo, pueden optar por dos fuentes básicas de financiación:

1. Obtener crédito en una entidad financiera interna o externa.
2. Efectuar la emisión de títulos en el mercado de capitales.

Ambas fuentes significan endeudamiento: este endeudamiento es interno, cuando la empresa o gobierno recurre a fuentes financieras internas o emite bonos («Bonos Soberanos») y es externa cuando el endeudamiento es con entidades financieras externas.

La ventaja de un endeudamiento externo es que ingresan al país beneficiario capitales frescos; las condiciones, plazos y el mismo préstamo están sujetas a la calidad ética de los funcionarios responsables de la negociación.

El servicio de la deuda pública, que incluye el reembolso del principal y el pago de los intereses, es una partida obligada de los presupuestos generales del Estado. La deuda a corto plazo generalmente adquiere la forma de letras y pagarés del Estado. A más largo plazo, están los Bonos y las Obligaciones del Estado.

Deuda pública según su plazo:

- De corto plazo: aquella concertada a plazos menores o igual a un año.
- De largo plazo: aquella concertada a plazos mayores a un año.

El Estado debe utilizar como fuente de financiación para proyectos de desarrollo (no para gasto ni pago de deuda), la emisión de títulos-valores a corto y largo plazo.

Bonos del Estado

Por lo general, son títulos al portador, normalmente negociables en bolsa, con ámbito nacional o internacional e interés fijo o flotante, con base en el LIBOR (London Interbanking Offered Rate), tipo medio de interés, día a día, en el mercado interbancario de Londres, que paga por los créditos que conceden unos bancos a otros), o en otra referencia. Su precio varía inversamente a las variaciones de los tipos de interés. En la mayor parte de los mercados, los precios cotizan limpios, sin incluir intereses, es decir, ex-cupón. Al interés devengado lo llaman cupón corrido.

Obligaciones del Estado (vencimiento a 10-30 años)

Estos títulos presentan entre otras las siguientes características:

a) Su valor nominal suele ser constante
b) Son suscritos mediante subasta, adjudicándoselo a aquel inversionista que ofrece un precio más elevado
c) Pago de intereses anuales pospagables
d) Amortización a la par

Estos valores son colocados con anterioridad a su emisión:

Por ejemplo:

Unas obligaciones a 10 años, que al emitirse el 10 de enero del año 2005, comienzan a colocarse entre los inversores a partir de junio/2004.

En el momento de la colocación el inversor desembolsa el importe de la adquisición, pero el título no comienza a generar intereses hasta que no es emitido.

Este plazo transcurrido entre colocación y emisión debe tenerse en cuenta a la hora de calcular la rentabilidad efectiva del título.

1.7. Bono

El Bono es un documento a largo plazo emitido por una empresa privada o el gobierno.

Particularmente, el prestatario recibe hoy dinero a cambio de una promesa de pago después, con interés pagado entre el período de efectuado el préstamo y el instante del reembolso. Por lo general, la tasa de interés de los bonos recibe el nombre de cupón.

Existe una amplia gama y formas de bonos. Para nuestro caso, consideramos cuatro clasificaciones generales:

1º. Títulos–valores. Emitidos y respaldados por el gobierno. Son considerados títulos-valores de menor riesgo en el mercado. Los intereses generados casi siempre están exonerados del impuesto a la renta estatal y local. Existen tres tipos de títulos-valores: Certificados mayores o igual a un año; Pagarés de 2 a 10 años y Bonos de 10 a 30 años.

2º. Bono hipotecario. Respaldados por hipotecas o por activos determinados de la empresa que emite los bonos. Existen hasta tres tipos de bonos hipotecarios: de Primera hipoteca, de Segunda Hipoteca y Fideicomiso de equipo. Los bonos de primera hipoteca tienen primera prioridad en el caso de liquidación. Son de más riesgo y consecuentemente, la tasa que pagan es menor. Son referenciados como bonos colaterales los respaldados por una garantía colateral. Un bono de fideicomiso de equipo es aquel en el que el bien comprado a través del bono es usado como una garantía colateral.

3º. Bonos amortizables. No están respaldados por ningún tipo de garantía colateral. Por lo general estos bonos pagan las tasas más altas de interés debido a su mayor riesgo.

Existen hasta tres tipos de bonos amortizables:

a)Bono convertible. Es un bono cuyas cláusulas permiten que éste sea convertido en acción de la empresa que lo emitió a un precio prefijado. A cambio, tienen un cupón inferior al que tendría sin la opción de convertibilidad, lo cual el inversor acepta previendo una posible subida del precio de la acción.
b)Bono subordinado. Representa la deuda ubicada una detrás de otra deuda en el caso de reorganización o liquidación de la empresa.
c)Bono especulativo, bono basura o junk bonds. En la jerga financiera de EE.UU., título de renta fija y alto rendimiento emitido por compañías cuya solvencia no es de primera clase; sin que a pesar de ello existan expectativas de posible insolvencia.

4º.Bonos municipales. Emitidos por los gobiernos locales. Generalmente estos bonos están exentos del impuesto a la renta. La tasa de interés pagada por estos bonos por lo general es muy baja. Estos bonos pueden ser:

a.Bonos de obligación general. Son emitidos contra los impuestos recibidos por el gobierno local. Es decir estos bonos están respaldados por todo el poder impositivo del emisor.
b.Bonos de ingresos. Son emitidos contra el ingreso generado por el proyecto financiado (planta de tratamiento de agua, energía eléctrica, puente etc.). Lo que no puede hacerse es crear impuestos para el reembolso de los bonos de ingresos.
c.Bonos de cupón cero. Emitido sin cupón de renta (no hay pagos de intereses periódicos). Son negociables con descuento sobre su valor nominal, el cual es redimido a su vencimiento. La TIR surge del diferencial entre el valor nominal y el precio.
d.Bonos de tasa variable. Son aquellos cuyas tasas de los cupones son ajustados a puntos determinados en el tiempo (semanalmente, mensualmente, anualmente, etc.).
e.Bonos de venta. Los bonos de venta brindan al tenedor la oportunidad de hacer efectivo el bono en fechas determinadas (una o más) con anterioridad a su vencimiento.

Las empresas o sociedades agentes de bolsa con el fin de ayudar a los inversionistas califican los bonos de acuerdo con la cuantía de su riesgo asociado con su compra (Calidad AAA de la más alta calidad) hasta DDD (bonos de la peor calidad).

1.7.1. Procesos de Bonos e Intereses

Como vimos, un bono no es más que un préstamo. Es un préstamo otorgado a una empresa o gobierno con el dinero de uno o varios prestamistas. El «emisor» del bono (la empresa o gobierno que recibe el préstamo) adquiere el compromiso de pagar a sus «inversores» una tasa de interés por prestarle el dinero (compensación por posponer la posibilidad de un consumo presente) y a rembolsar el valor nominal del bono a su vencimiento. En términos generales, cada préstamo o «emisión» de un bono tiene ciertas y particulares condiciones detalladas en el momento de la emisión. Estas condiciones son: el valor nominal del bono, su tasa de interés o cupón, el período de pago de intereses del bono y su fecha de vencimiento.

El valor nominal. El principal o capital que hace referencia a su denominación; los valores más utilizados son los bonos de: UM 100, 500, 1,000, 10,000 y 50,000. El valor nominal es importante por dos razones:

1. El valor nominal representa la suma global que será pagada al tenedor del bono a la fecha de su vencimiento.
2. El importe del interés I pagado por período con anterioridad a la fecha de vencimiento del bono, es calculado multiplicando el valor nominal del bono (VN) por su tasa de interés (ib) divido entre el período (nb), con la siguiente fórmula:

Generalmente un bono es comprado con descuento (menor que el valor nominal) o con una prima (mayor que el valor nominal). Para el cálculo del interés I del bono solamente utilizamos el valor nominal y no el precio de compra.

EJEMPLO 214 (Recibiendo intereses por la compra de bonos)

Calcular el monto de interés que Jorge recibirá por período si compra un bono de UM 10,000 al 4%, el cual vence dentro de 10 años con intereses pagaderos bimestralmente.
Solución:

Respuesta: Jorge recibirá por concepto de intereses UM 80 cada 2 meses adicionales a los UM 10,000 que recibirá al vencimiento del bono.

EJEMPLO 215 (Recibiendo pagos por invertir en un bono)

Una empresa fabricante de cocinas y hornos industriales tiene proyectado expandirse y para financiarse recurre a la emisión de bonos de UM 1,000 al 6% para financiar el proyecto. Los bonos vencerán dentro de 10 años con pagos semestrales de interés. El Gerente de la empresa compró uno de los bonos a través de su Agente de Bolsa por UM 900. ¿Cuánto recibirá por concepto de pagos?

Respuesta: El empresario recibirá UM 1,000 en la fecha de vencimiento del bono, dentro de 10 años; además recibirá cada seis meses el importe de UM 30 por concepto de intereses, conforme el compromiso de la empresa a pagar al momento de la emisión.

1.7.2. Factores de riesgo de los bonos

Cada uno de los determinantes del flujo final de fondos de la inversión en un bono son los distintos factores de riesgo de los instrumentos de renta fija, donde los principales son:

1. «Riesgo de default», el riesgo de incumplimiento del emisor;
2. «Riesgo moneda» o riesgo de recibir los pagos de amortización y renta en la moneda pactada o el tipo de cambio que afecte la rentabilidad de la inversión;
3. «Riesgo de liquidez», o riesgo de que las posibilidades de vender el bono (o transferir a un tercero los derechos sobre la amortización y renta del bono antes de su vencimiento) sean limitadas;
4. «Riesgo de inflación» o riesgo de que la inflación erosione el rendimiento final de la inversión;
5. «Riesgo de reinversión» o el riesgo de variación de la tasa de interés a la cual podremos reinvertir el dinero que cobremos por renta o por amortización durante la vigencia del bono;
6. «Riesgo tasa de interés», o riesgo de que cambios en las condiciones generales de la economía impacten en el precio del bono en el mercado.

1.7.3. Bono Cupón Cero

Es aquel que no paga intereses durante la vida de la emisión, sino que, los perciben íntegros con la amortización del principal, es vendido con un fuerte descuento sobre el nominal, siendo su precio muy sensible a las variaciones de los tipos de interés. Con frecuencia estos bonos son vendidos con descuentos mayores al 75% de su valor nominal, para hacerlos más atractivos ante los inversionistas. El bono cortado es un bono convencional cuyo cupón de intereses es vendido en forma separada de su valor nominal. El comportamiento de éste bono es el de un bono cupón cero.

1.7.4. Precio / Tasa. Tasa / Precio

Entender por qué y cómo interrelacionamos estas variables es función de la tasa de Interés. La tasa de interés es la que genera la dinámica de un bono, lo que le da vida.

Ejemplo 216 (Préstamo o inversión en un bono )

a) César propone a Jorge que le preste UM 1,000 por un año, con la promesa de devolverle UM 1,120 al final de este período. Este caso es lo mismo que invertir en un bono que vale UM 1,000 (valor nominal) con un rendimiento anual del 12%.
b) Jorge tiene otra propuesta similar en monto y plazo que el anterior, pero la oferta de devolución al final del año no es UM 1,120 sino UM 1,300.

Este segundo caso (bono) vale también UM 1,000, pero con un rendimiento anual del 30%.

Frente a esta segunda oferta, César necesitado de dinero y la seguridad de rembolsar UM 1,120 al final del año, decide mejorar la segunda oferta y propone que además de devolverle al final del año la suma indicada, –le dice- «en lugar de prestarme hoy los UM 1,000, me arreglo con sólo UM 862 que es lo que realmente requiero para el apuro que tengo».

Para calcular el valor del bono que debe ofertar César a Jorge aplicamos la fórmula [21]:

Lo que César hizo es bajar el precio del bono a UM 862 y automáticamente le subió la tasa de interés a 30%. Calculamos la tasa (ib), aplicando la fórmula [11]:

1.7.5. Relación del precio con la tasa de interés

La relación del precio con la tasa de interés es muy importante, como pasamos a demostrarlo:

1) El comportamiento del precio de un bono es contrario a la tasa de interés: si el precio baja la tasa sube y si el precio sube la tasa baja.
Si el plazo del bono aumenta, para una misma tasa de rendimiento anual le corresponde un precio del bono menor, o bien, para que el precio sea invariable cuando el bono estira su plazo, la tasa debe bajar. Para una misma tasa de interés, el precio baja si el plazo sube.

2) El movimiento del precio de un bono es al revés que el plazo para una misma tasa. El movimiento del precio de un bono se comporta de manera inversa a la tasa y al plazo. Esto último es así porque el «impacto» de la misma tasa anual se «potencia» por la simple acumulación de años: duplica en dos años, triplica en tres años, etc.

3) La sensibilidad del precio del bono frente a cambios en la tasa es creciente a medida que aumenta el plazo del bono. Sensibilidad y plazo guardan una relación directa.

1.7.6. Valor actual de los bonos

Cada vez que nos referimos al precio del bono hacemos mención al «valor actual» del monto del vencimiento, o dicho de otra manera, al monto del vencimiento actualizado a la fecha de hoy.

El precio del bono es siempre el monto que, aplicándole la tasa de interés, iguala el importe del vencimiento. Si al valor del vencimiento le descontamos el interés, obtenemos su precio.

El precio es equivalente al «valor actual» del importe del vencimiento «descontado» a la tasa de interés del bono.

Luego, el precio de un bono «es» el «valor actual» de su «flujo de fondos esperado» «descontado» a su tasa de rendimiento.

EJEMPLO 217 (Cuánto pagaría hoy por un bono...)

Una persona requiere tener un 10% anual nominal compuesto semestralmente sobre una inversión en bonos, ¿cuánto pagaría hoy por un bono de UM 5,000 al 7% que vencerá dentro de 10 años y paga intereses semestrales?

1º Calculamos el valor del pago de los intereses (cupón) del bono:

2º Utilizando la tasa de interés por período que la persona prevé recibir: 10% anual compuesto semestralmente, es decir 10%/2 = 5% semestral. La tasa de interés del bono (ib) sólo es utilizada para el cálculo del importe del pago de los intereses del bono. I es simplemente un valor C.

Respuesta:

La persona debe pagar por el bono UM 4,065.33 el día de hoy para asegurarse un 10% anual nominal compuesto semestralmente sobre su inversión. Pagar una cantidad mayor que la indicada significaría una tasa de retorno menor al 10% esperado.

Cuando el período de capitalización del inversionista es menor que el período de intereses del bono, deberá hacerse uso de la fórmula [55], como veremos en el siguiente ejemplo.

EJEMPLO 218 (Calculando el VA de un bono)

Determinar el valor actual de un bono de UM 10,000 al 5.8% con intereses pagados semestralmente. Si el inversionista aspira a obtener una rentabilidad del 12% anual compuesto trimestralmente sobre su inversión y el bono vence dentro de 5 años.

Para obtener el VA del bono, trasladamos el pago de intereses de UM 290 hasta el año 0 adicionándolo el VA de UM 10,000 del semestre 10.

1º A partir de la tasa nominal compuesta trimestralmente obtenemos, primero la tasa del trimestre, aplicando la fórmula (44B):

2º Recordando que todas las fórmulas del interés compuesto solo operan con tasas efectivas (del período), debemos determinar la tasa efectiva del semestre aplicando la fórmula (43B), que viene a ser asimismo la tasa del periodo:

3º Aplicando en forma combinada las fórmulas (24) y (21) o la función VA, calculamos el VA del bono:

Respuesta: El VA del bono es menor al VN del bono a 10 años, no obstante haberle sumado el VA de los intereses semestrales, por que el precio de un bono es contrario a la tasa de interés.

Para que el precio sea invariable cuando el bono estira su plazo, la tasa debe bajar. Para una misma tasa de interés, el precio baja si el plazo sube.

1.7.7. La TIR de un bono

La TIR y la tasa efectiva son dos herramientas que deben utilizarse para tomar decisiones principalmente cuando tratamos de comprar y vender papeles en bolsa.

La tasa interna de retorno de un bono (TIR). Es la tasa de interés que hace que la suma de los valores actuales de los cupones descontados a esa misma tasa iguale el precio del bono.

EJEMPLO 219 (Tasa nominal y efectiva de un bono)

Una persona pagó UM 750 por un bono de UM 1,000 al 6% que vence dentro de 10 años con intereses semestrales. Determinar la tasa nominal y efectiva que recibiría esta persona por su inversión con capitalización semestral.



1º. Calculamos el ingreso por la compra de bonos, que viene a ser el interés de los bonos cada 6 meses más el monto nominal dentro de 10 años (20 semestres):

2º. Aplicando la función TIR (de 0 al período 20), calculamos la tasa periódica i:

3º. A partir de esta tasa, aplicando las fórmulas (44A) y (43B) calculamos la tasa nominal y la TEA respectivamente:

1.8. Empréstito con amortizaciones parciales de capital

Esta categoría de empréstitos es amortizada con disminuciones parciales de capital. El caso más frecuente de este tipo de empréstitos, es aquél en el que las amortizaciones de capital son uniformes a lo largo de la vida de la operación. Las amortizaciones parciales de capital son calculadas de la siguiente manera:

EJEMPLO 220 (Empréstito con amortizaciones parciales de interés)

Hacemos una emisión de UM 5,000 millones, representados por 500,000 títulos de UM 10,000 valor nominal cada uno. El plazo es de 5 años y la amortización del principal es en montos uniformes. La tasa de interés es de 7%. Elabore el cuadro de amortización.

Nota: Es probable que en esta página web no aparezcan todos los elementos del presente documento. Para tenerlo completo y en su formato original recomendamos descargarlo desde el menú en la parte superior

Cesar Aching Guzman

Diplomado ESAN en: Administración de Empresas [PADE] Mercadotecnia y Ventas [PADE]. Asesor independiente de empresas Investigador en finanzas, negocios y economía. Conferencista en temas financieros. Autor de libros sobre Matemáticas Financieras. http://es.geocities.com/cesaraching/ Pagina personal http://cesaraching.blogspot.com/

cesar_achingarrobahotmail.com
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